Question

найдите все натуральные числа n, для которых существует такой натуральный делитель d, что n!+d! делится на nd + 1

Answer 1

Ответ:n=1

Пошаговое объяснение:Попробуем отыскать общий делитель (n+d) в знаменателе, прибавив эту часть и отняв ее. Дальше вычисления только в знаменателе (nd + 1)

nd + 1 = nd + 1 + n + d - n - d =

= (n + d) + (nd + 1 - n - d) * n + d

n + d =

= (n + d)(1 + nd + 1 - n - d

n + d )

Теперь, сокращая числитель и знаменатель на (n + d), мы получаем в числителе 1 и, чтобы итог получился целый без дробей, то знаменатель тоже должен быть равен 1.

1 + nd + 1 - n - d

n+d = 1

Помножим обе части на (n+d), чтобы убрать дроби. Условий можно не ставить, так как оба числа целые и положительные, а значит на ноль никак не поделится.

n + d + nd + 1 - n - d = n + d

nd + 1 = n + d

n - nd + d = 1

Если слева выделить общий знаменатель, а d перекинуть направо, то можно получить общий множитель, на который свободно поделить и убрать любые варианты d из уравнения:

n(1-d) = 1-d

n(1-d) = (1-d)

n = 1

Проверка: подставим разные числа d.

1 + 1

1*1 + 1 = 1

1 + 5

1*5 + 1 = 1

1 + 250

1*250 + 1 = 1

Ответ: n = 1.