Question

нужно найти производную, помогите пожалуйста

Answer 1

8.  $y=\lg^5(x+1)=(\lg(x+1))^5;\ y'=5(\lg(x+1))^4\cdot (\lg(x+1))'=$

$=5\lg^4(x+1)\cdot \dfrac{1}{(x+1)\ln 10}\cdot (x+1)'=\dfrac{5\lg^4(x+1)}{(x+1)\ln 10}$

9.  $y=\ln\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1-x}{1+x}=\dfrac{1}{2}(\ln|1-x|-\ln|1+x|);$

$y'=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-x}\cdot (1-x)'-\dfrac{1}{1+x}\cdot (1+x)'\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)=$

$= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{x^2-1}.$

Замечание. При преобразовании логарифма дроби в разность логарифмом мы написали модули, чтобы не сузить область определения. В дальнейшем модули исчезли, поскольку  $(\ln|x|)'=\dfrac{1}{x}.$

Если Вам такую формулу не давали, Вы с легкостью можете ее вывести, рассматривая два случая раскрытия модуля. Впрочем, можно было модулей избежать, если использовать область определения логарифма: $\dfrac{1-x}{1+x}>0 \Rightarrow x\in (-1;1)\Rightarrow \ln\dfrac{1-x}{1+x}=\ln(1-x)-\ln(1+x).$