Question

Quetion 26
В треугольнике ABC точки M и N являются серединами сторон AB , AC .
Точки D , E середины сторон CM , BM
Найдите значение
$\dfrac{S_{ABC}}{S_{BCDE}+S_{MNDE}}$

Answer 1

Ответ:

2:1

Объяснение:

Дано: ΔАВС.

ВМ = АМ; AN = NC;

MD = DC; BE = EN.

Найти:

$\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{BCDE}+S_{MNDE}}$

Решение:

Пусть $\displaystyle S_{ABC}=S$.

1) Рассмотрим ΔАВС.

ВМ = АМ; AN = NC

⇒ MN - средняя линия.

• Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному и его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.

⇒ $\displaystyle S_{MAN} = \frac{1}{4}S$

2. Найдем площадь BMNC:

$\displaystyle S_{BMNC}=S_{ABC}-S_{MAN}=S-\frac{1}{4}S=\frac{3}{4}S$.

3. Рассмотрим ΔМАС

ВМ = МА ⇒ СМ - медиана ΔАВС.

• Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

⇒ $\displaystyle S_{MAC}=S_{BMC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}S$

AN = NC; MD = DC (условие)

⇒ $\displaystyle S_{DNC}=\frac{1}{4}S_{MAC}=\frac{1}{4}*\frac{1}{2}S=\frac{1}{8}S$

4. Рассмотрим ΔBAN.

AN = NC (условие) ⇒ BN - медиана ΔАВС.

⇒ $\displaystyle S_{BAN}=S_{BNC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}S$

BM = MA; BE = EN (условие)

⇒ ME - средняя линия.

$\displaystyle S_{BME}=\frac{1}{4}S_{BAN}=\frac{1}{4}*\frac{1}{2}S =\frac{1}{8}S$

5. Найдем сумму площадей EMND + BCDE

$\displaystyle S_{MNDE}+S_{BCDE}=S_{BMNC}-S_{BME}-S_{DNC}=\\\\=\frac{3}{4}S-\frac{1}{8}S-\frac{1}{8}S=\frac{3}{4}S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{2} S$

6. Найдем искомое отношение:

$\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{MNDE}+S_{BCDE}}=\frac{S}{\frac{1}{2}S }=\frac{2}{1}$