Question

Нехай Х випадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром λ. Знайти розподіл випадкової величини Y= [X] та MY.

Answer 1

Ответ:

$Y=\lfloor X\rfloor\sim Geom(1-e^{-\lambda}); EY=\dfrac{1}{e^{\lambda}-1}$

Пошаговое объяснение:

С учетом определения целой части числа, имеем

$P(Y=k)=P(\lfloor X\rfloor=k)=P(k\leq X<k+1)=P(X<k+1,k\leq X)=\\ =P(k\leq X)\cdot P(X<k+1|k\leq X)=(1-P(X<k))\times\\ \times (1-P(k+1\leq X|k\leq X))=(*)$

Заметим, что

$P(k+1\leq X|k\leq X)=\dfrac{P(k+1\leq X,k\leq X)}{P(k\leq X)}=[\{k+1\leq X\}\Rightarrow\{k\leq X\}]=\dfrac{P(k+1\leq X)}{P(k\leq X)}=\dfrac{1-P(X<k+1)}{1-P(X<k)}=\dfrac{1-F_X(k+1)}{1-F_X(k)}=\dfrac{e^{-\lambda (k+1)}}{e^{-\lambda k}}=e^{-\lambda}$

[К слову, можно доказать и более общую формулу, которая соответствует свойству под названием "отсутствие памяти"]

Возвращаемся к исходным расчетам:

$(*)=e^{-\lambda k}\cdot (1-e^{-\lambda})=(e^{-\lambda })^k\cdot (1-e^{-\lambda})$

Т.к. по определению $\lambda >0$, функция $f(t)=e^{-t}$ неотрицательна и монотонно убывает на $t>0$,  причем $f(0)=1$, то $e^{-\lambda}\in[0;1]$. Но тогда и $1-e^{-\lambda}\in[0;1]$.

Отсюда, нетрудно заметить, наше распределение есть не что иное, как геометрическое распределение с параметром $p=1-e^{-\lambda}$.

Значит, матожидание $EY=\dfrac{1-p}{p}=\dfrac{e^{-\lambda}}{1-e^{-\lambda}}=\dfrac{1}{e^{\lambda}-1}$.