Question

только один пример а) ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits {\frac{dx}{4sinx-cosx+15} }$

Подынтегральная функция зависит от sinx и от cosx. Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

$\displaystyle tg\frac{x}{2}=t;\;\;\;sinx=\frac{2t}{1+t^2};\;\;\;cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2};\;\;\;dx=\frac{2dt}{1+t^2}$

Выполним подстановку:

$\displaystyle \int\limits {\frac{dx}{4sinx-cosx+15} }=\int\limits {\frac{\frac{2dt}{1+t^2} }{\frac{8t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}+15 } } =\\\\=2\int\limits {\frac{dt}{(1+t^2)*\frac{8t-1+t^2+15+15t^2}{1+t^2} } } =2\int\limits {\frac{dt}{16t^2+8t+14} } =\\\\=\frac{2}{16}\int\limits {\frac{dt}{t^2+\frac{1}{2}t+\frac{14}{16} } } =\frac{1}{8}\int\limits {\frac{dt}{(t^2+2*\frac{1}{4}t+\frac{1}{16} ) -\frac{1}{16}+\frac{14}{16} } }=$

$\displaystyle =\frac{1}{8}\int\limits {\frac{d(t+\frac{1}{4}) }{(t+\frac{1}{4})^2+\frac{13}{16} } } =\frac{1}{8}*\frac{4}{\sqrt{13} }arctg\frac{4t}{\sqrt{13} } +C$

Выполним обратную замену и избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\displaystyle \int\limits {\frac{dx}{4sinx-cosx+15} } =\frac{\sqrt{13} }{26} arctg\frac{4\sqrt{13}\;tg\frac{x}{2} }{13}+C$