Question

Найти предел функции, используя правило Лопиталя

Answer 1

1. Конечно, этот предел проще вычислить без правила Лопиталя, но если  нужно ...

$\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{x-6}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{x}\left(\sqrt{1+\frac{6}{x}}-\sqrt{1-\frac{6}{x}}\right)=\left|\left|\dfrac{1}{\sqrt{x}}=t\right|\right|=$

$=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sqrt{1+6t^2}-\sqrt{1-6t^2}}{t}=\left[\dfrac{0}{0}\right]=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\left(\sqrt{1+6t^2}-\sqrt{1-6t^2}\right)'}{t'}=$

$\lim\limits_{t\to 0}\left(\dfrac{12t}{2\sqrt{1+6t^2}}+\dfrac{12t}{2\sqrt{1-6t^2}}\right)=0.$

2.  И в этой задаче Лопиталь ни при чем...

$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^6+4x^3-8x-9}{x^3+9x^2+4x-5}=\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{6x^5+12x^2-8}{3x^2+18x+4}=\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]=$

$=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{30x^4+24x}{6x+18}=\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right] = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{120x+24}{6}=\infty.$

3. Ответ, как и в двух предыдущих задачах, можно написать сразу...

$\lim\limits_{x\to 0}(1+4x)^{3/x}=\lim\limits_{x\to 0} e^{\ln(1+4x)^{3/x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{3}{x}\ln(1+4x)}=e^{3\lim\limits_{x\to 0}\frac{ln(1+4x)}{x}}=\left[\dfrac{0}{0}\right]=$

$=e^{3\lim\limits_{x\to 0}\frac{4}{1+4x}}=e^{12}.$