Question

Найти предел функции, НЕ используя правило Лопиталя

Answer 1

$\lim\limits_{x\to \pi/2}\dfrac{1+\cos 6x}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}=||x-\pi/2=t||=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{1+\cos(6t+3\pi)}{t^2}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{1-\cos 6t}{t^2}=$

$=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{2\sin^2 3t}{t^2}=18\lim\limits_{t\to 0}\left(\dfrac{\sin 3t}{3t}\right)^2=18.$

В процессе решения мы воспользовались первым замечательным пределом.

$\lim\limits_{x\to \infty}\left(\dfrac{4+2x}{9+2x}\right)^{6x}=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\dfrac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{9}{2x}}\right)^{6x}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{(1+\frac{2}{x})^{6x}}{(1+\frac{9}{2x})^{6x}}=\dfrac{\lim\limits_{x\to \infty}(1+\frac{2}{x})^{6x}}{\lim\limits_{x\to \infty}(1+\frac{9}{2x})^{6x}}=$

$=\dfrac{\lim\limits_{x\to \infty}\left(\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x/2}\right)^{12}}{\lim\limits_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{9}{2x}\right)^{2x/9}\right)^{27}}=\dfrac{e^{12}}{e^{27}}=e^{12-27}=\dfrac{1}{e^{15}}.$

В процессе решения мы воспользовались вторым замечательным пределом.