Question

Знайти розв’язок диференційного рівняння, що задовольняє задану початкову умову.
y’+y/x=sin x
y(Pi)=1/Pi

Answer 1

y' + y/x = sin x  |*x ≠ 0

y'x + y = x * sin x

(y * x)' = x * sin x

yx = ∫xsinx dx

Замена u = x; du=dx; dv = sinx dx; v = -cos x (интегрирование по частям)

yx = -xcosx + ∫cosx dx

yx = -xcosx + sin x + C

y = -cos x + (sin x + C)/x - общее решение заданного уравнения

Осталось подставить начальные условия и найти частное решение

1/π = 1 + C/π

1 = π + C

C = 1 - π

Искомое решение ДУ: y = -cos x + (sin x + 1 - π)/x