Question

найти (1-i)^20 ......

Answer 1

$(1-i)^{20}$

Для возведения в степень удобно воспользоваться формулой Муавра:

$(\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=\rho^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$

Запишем число $z=1-i$ в тригонометрической форме. Для этого найдем его модуль и аргумент:

$|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$\arg z=\mathrm{arctg}\dfrac{-1}{1} =-\dfrac{\pi}{4}$

Тогда:

$z=\sqrt{2} \left(\cos\left(-\dfrac{\pi }{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi }{4}\right) \right)$

Возводим это число в 20 степень:

$z^{20}=(\sqrt{2} )^{20}\left(\cos\left(20\cdot\left(-\dfrac{\pi }{4}\right)\right)+i\sin\left(20\cdot\left(-\dfrac{\pi }{4}\right)\right) \right)$

$z^{20}=2^{10}\left(\cos(-5\pi)+i\sin(-5\pi ) \right)$

В силу периодичности синуса и косинуса можем переписать:

$z^{20}=2^{10}\left(\cos\pi+i\sin\pi \right)$

$z^{20}=2^{10}\left(-1+i\cdot0\right)$

$z^{20}=2^{10}\cdot(-1)$

$z^{20}=-2^{10}$

$z^{20}=-1024$

Таким образом:

$(1-i)^{20}=-1024$

Ответ: -1024