Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = х² + 4x + 3 и y = x + 3. Построить график.
пожалуйста, нужна помощь в решении.

Answer 1

Ответ:

9/2

Пошаговое объяснение:

Сначала чертим графики

y = х² + 4x + 3

Выделим полный квадрат  х² + 4x + 3 = (х² +2*2х +4) -4 +3 = (х+2)² -1

значит, берем известный график функции у = х²,

смещаем его на -2 по оси ОХ и на -1 по оси ОУ.

y = x + 3

берем известный график у = х и смещаем его на -3 по оси ОХ.

Вот мы получили нужную нам фигуру.

Теперь по формуле Ньютона - Лейбница вычислим определенный интеграл, что и будет площадью фигуры

$\displaystyle S=\int\limits^a_b {\bigg (y_1(x) -y_2(x)\bigg )} \, dx$   , где

х ∈ [a; b] ;    за у₁(х) принимают функцию, график которой лежит "выше" на отрезке  [a; b]

Для нашего случая

$\displaystyle S=\int\limits^0_{-3} {\bigg ((x+3)-(x^2+4x+3)\bigg )} \, dx =\int\limits^0_{-3} { (-x^2-3x)} \, dx =\\\\\\=\bigg (-\frac{x^3}{3} \bigg ) \bigg |_{-3}^0-3\frac{x^2}{2} \bigg |_{-3}^0=-9+\frac{27}{2} =\boldsymbol {\frac{9}{2} }$