Question

найти сумму всех трехзначных чисел, которые не делятся на 5 или 3

хэлп пожалуйста срочно!​

Answer 1

Ответ:

Сумма всех трехзнач. чисел, не делящихся на 5 или 3

= 264 100

Объяснение:

Сумма всех трехзначных чисел, которые не делятся на 5 или 3 - ...

-равна разности между

-- суммой

--- суммы всех трехзначных чисел

--- и суммы всех трехзначных чисел кратных 15

-- и суммой

--- суммы всех трехзначных чисел кратных 3

--- и суммы всех трехзначных чисел кратных 5

Пояснения и расчеты:

Сумма всех трехзначных чисел - это сумма:

$100 + 101 + 102 + ... + 998 + 999$

$\overbrace{100 + 101+102+...+998+999 }^{\text{900 слагаемых}} = \\ = \underbrace{(100{ +}999) + (101{+}998)+(549{ + }550) } _{\text{450 слагаемых}} = \\ =1099 \cdot450 = 494 \: 550$

Нас же интересует Сумма всех трехзначных чисел, которые не делятся на 5 или на 3.

Следовательно, искомая сумма - это сумма всех трехзначных чисел, за вычетом тех чтсел, которые кратны 3 или 5

сумма всех трехзначных чисел кратных 3 - это сумма чисел из промежутка от 100 до 999, имеющих вид 3n, где n натуральное

Очевидно, что

минимальное такое число равно 102 = 3•34

максимальное такое число равно 999 = 3•333

$102 = 3 \cdot{34 }=> n_{\min} = 34\\ 999 = 3 \cdot{333}=> n_{\max} = 333$

А сумма всех трехзначных чисел кратных 3 будет

$\overbrace{102 + 105+108+...+996+999 }^{\text{300 слагаемых}} = \\= 3{\cdot}34+ 3{\cdot}35+ 3{\cdot}36+...+ 3{\cdot}332+ 3{\cdot}333 \\ =3 \cdot \underbrace{(34 + 35+...+332+ 333) } _{\text{300 слагаемых}} = \\=3 \cdot \underbrace{(34{ +}333) + (35{+}332)+(183{ + }184) } _{\text{150 слагаемых}} = \\ =3 \cdot{367}\cdot150 = 165 \: 150$

Сумма всех трехзначных чисел кратных 5 - это сумма чисел из промежутка от 100 до 999, имеющих вид 5n, где n натуральное

Очевидно, что

минимальное такое число равно 100 = 5•20

максимальное такое число равно 995 = 5•199

$100 = 5 \cdot{20}=> n_{\min} = 20\\ 990 = 5 \cdot{199}=> n_{\max} = 199$

А сумма всех трехзначных чисел кратных 5 будет

$\overbrace{100 + 105+110+...+990+995}^{\text{180 слагаемых}} = \\= 5{\cdot}20+ 5{\cdot}21+ 5{\cdot}22+...+ 5{\cdot}198+ 5{\cdot}199 \\ =5 \cdot \underbrace{(20 + 21+...+198+ 199) } _{\text{180 слагаемых}} = \\=5\cdot \underbrace{(20{ +}199) + (21{+}198)+(109{ + }110) } _{\text{90 слагаемых}} = \\ =5 \cdot{219}\cdot90 = 98 \: 550$

Однако, если мы вычтем из всей суммы всех трехзначных чисел сумму чисел кратных 3, да еще из полученного вычтем сумму чисел кратных 5, то окажется - что некоторые числа (такие как 105, например), мы вычли дважды. Это - числа одновременно кратные 3 и кратные 5

А числа одновременно кратные 3 и кратные 5 (т.к. 3 и 5 взаимно простые) - являеются числами кратными произведению 3•5, т.е. кратными 15.

Поэтому следует к результату двойного вычитания прибавить сумму всех трехзначных чисел кратных 15, которые мы вычли дважды.

Сумма всех трехзначных чисел кратных 15 - это сумма чисел из промежутка от 100 до 999, имеющих вид 5n, где n натуральное

Очевидно, что

минимальное такое число равно 105 = 15•7

максимальное такое число равно 990 = 15•66

$105 = 15 \cdot{7}=> n_{\min} = 7\\ 990 = 15\cdot{66}=> n_{\max} = 66$

А сумма всех трехзначных чисел кратных 15 будет

$\overbrace{105 + 120+135+...+975+990}^{\text{60 слагаемых}} = \\= 15{\cdot}7+ 15{\cdot}8+ 15{\cdot}9+...+ 15{\cdot}65+ 5{\cdot}66 \\ =15 \cdot \underbrace{(7 + 8+...+65+ 66) } _{\text{60 слагаемых}} = \\=15\cdot \underbrace{(7{ +}66) + (8{+}65)+...+(36{ + }37) } _{\text{30 слагаемых}} = \\ =15 \cdot{73}\cdot30 = 32 \: 850$

Окончательный подсчет:

1) Сумма всех трехзначных чисел равна

494 550

2) Сумма всех трехзначных чисел кратных 3 равна

165 150

3) Сумма всех трехзначных чисел кратных 5 равна

98 550

4) Сумма всех трехзначных чисел кратных 15 равна

32 850

Для получения искомого значения нужно

из (1) вычесть (2), затем вычесть (3) и прибавить (4)

Х = (1) - (2) - (3) + (4)

Х = 494 550 - 165 150 - 98 150 + 32 850 =

= 329400 - 98 150 + 32850 = 231 250 + 32 850 =

= 264 100