Question

Если

$\displaystyle x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}=0$

Доказать что

$\dfrac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3} =xyz$

Answer 1

1. Рассмотрим равенство:

$x+y+z=0$

Перенесем z в правую часть:

$x+y=-z$

Возведем обе части равенства в куб:

$(x+y)^3=(-z)^3$

$x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-z^3$

$x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2$

$\boxed{x^3+y^3+z^3=-3xy(x+y)}$

2. Рассмотрим равенство:

$\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$

Приводим к общему знаменателю:

$\dfrac{yz+xz+xy}{xyz} =0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменателю нулю не равен. То есть:

$\boxed{yz+xz+xy=0}$

3. Еще раз рассмотрим равенство:

$x+y+z=0$

Возведем обе части равенства в квадрат:

$(x+y+z)^2=0^2$

$x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=0$

$x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=0$

Воспользуемся равенством, полученным на шаге 2:

$x^2+y^2+z^2+2\cdot0=0$

$\boxed{x^2+y^2+z^2=0}$

4. Рассматриваем далее полученное равенство и переносим $z^2$ в правую часть:

$x^2+y^2=-z^2$

Возводим в куб:

$(x^2+y^2)^3=(-z^2)^3$

$x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6=-z^6$

$x^6+y^6+z^6=-3x^4y^2-3x^2y^4$

$\boxed{x^6+y^6+z^6=-3x^2y^2(x^2+y^2)}$

5. Разделим почленно результат 4 шага на результат 1 шага:

$\dfrac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3} =\dfrac{-3x^2y^2(x^2+y^2)}{-3xy(x+y)}$

Сокращая дробь в правой части, получим:

$\dfrac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3} =xy\cdot\dfrac{x^2+y^2}{x+y}$

Во вновь полученную дробь подставим равнее использовавшиеся соотношения на 4 и 1 шагах соответственно. Получим:

$\dfrac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3} =xy\cdot\dfrac{-z^2}{-z}$

$\dfrac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3} =xyz$

Доказано.