Question

Школьный комитет, состоящий из 7 школьников, избирается из 9 мальчиков и 7 девочек.
а) Сколькими способами можно выбрать из членов комитета так, чтобы в нем было не менее 3 девочек?
б) найдите вероятность того, что в комитете будет не менее 3 девочек

Answer 1

Ответ:

а) 8170

б) ≈ 0,71

Объяснение:

а)

Количество способов выбора m элементов из n - это число сочетаний из n по m:

$C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$

Девочек должно быть не меньше трех. Значит возможны варианты выбора семи школьников в комитет:

3 девочки из семи и 4 мальчика из девяти (применяем правило произведения):

$C_7^3\cdot C_9^4=\dfrac{7!}{3!(7-3)!}\cdot \dfrac{9!}{4!(9-4)!}=$

$=\dfrac{7!}{3!\cdot 4!}\cdot \dfrac{9!}{4!\cdot 5!}=\dfrac{5\cdot 6\cdot 7}{2\cdot 3}\cdot \dfrac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{2\cdot 3\cdot 4}=4410$

4 девочки и 3 мальчика:

$C_7^4\cdot C_9^3=\dfrac{7!}{4!(7-4)!}\cdot \dfrac{9!}{3!(9-3)!}=$

$=\dfrac{7!}{4!\cdot 3!}\cdot \dfrac{9!}{3!\cdot 6!}=\dfrac{5\cdot 6\cdot 7}{2\cdot 3}\cdot \dfrac{7\cdot 8\cdot 9}{2\cdot 3}=35\cdot 84=2940$

5 девочек и 2 мальчика:

$C_7^5\cdot C_9^2=\dfrac{7!}{5!(7-5)!}\cdot \dfrac{9!}{2!(9-2)!}=$

$=\dfrac{7!}{5!\cdot 2!}\cdot \dfrac{9!}{2!\cdot 7!}=\dfrac{6\cdot 7}{2}\cdot \dfrac{8\cdot 9}{2}=21\cdot 36=756$

6 девочек и 1 мальчик:

$C_7^6\cdot C_9^1=\dfrac{7!}{6!(7-6)!}\cdot 9=7\cdot 9=63$

и, наконец, все 7 человек - девочки: 1 способ.

По правилу суммы:

4410 + 2940 + 756 + 63 + 1 = 8170 - количество способов выбрать 7 человек в комитет так, чтобы в нем было не менее трех девочек.

б)

Всего школьников: 9 + 7 = 16 человек.

Количество способов выбрать 7 человек из шестнадцати:

$C_{16}^7=\dfrac{16!}{7!(16-7)!}=\dfrac{16!}{7!\cdot 9!}=$

$=\dfrac{10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}=10\cdot 11\cdot 2\cdot 13\cdot 4=11440$

Вероятность того, что в комитете будет не менее трех девочек:

$P(3)=\dfrac{8170}{11440}\approx 0,71$