Question

в треугольник со стороной а и высотой h, проведенной к этой стороне, вписан прямоугольник таким образом что одна из его сторон содержится стороной а треугольника. найдите максимальную площадь прямоугольника. это надо сделать с помощью функций и производных!

Answer 1

$S_{Δ}$ = $frac{ah}{2}$
пусть х = длина прямоугольника, лежащая на стороне треугольника
         у = высота прямоугольника
Прямоугольник разбивает треугольник на 3 треугольника и прямоугольник. Поэтому можно площадь собрать из площадей этих фигур.
$S_{Δ}$ = xy + $frac{x(h-y)}{2} + frac{(a-x)y}{2}$ = $frac{xh +ay}{2}$
если приравнять обе площади, то получим равнство
ah = xh + ay  ⇒  $x = frac{a(h-y)}{h}$
Тогда площадь прямоугольника S = xy
S = $frac{a}{h} (h-y)y$
S ' = $frac{a}{h} (h-2y)$
S ' = 0  $frac{a}{h} (h-2y)=0$  ⇒ y = h/2  точка максимума
S(h/2) = $frac{a}{h} (h- frac{h}{2} )* frac{h}{2} = frac{ah}{4}$
Это и есть наибольшее значение площади