Question

45б. За формулою Ньютона-Лейбніца, обчислити інтеграл. Детально розписати

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle 1)\ \ \int\limits^{e}_1\, \frac{cos(lnx)}{x}\, dx=\int\limits^{e}_1cos(lnx)\frac{dx}{d}=\int\limits^{e}_1cos(lnx)\cdot d(lnx)=sin(lnx)\Big|_1^{e}=\\\\=sin1-sin0=sin1\\\\\\2)\ \ \int\limits^1_0\, \frac{e^{x}\, dx}{1+e^{2x}}=\int\limits^1_0\, \frac{d(e^{x})}{1+(e^{x})^2}=arctg(e^{x})\Big|_0^1=arctg\, e-arctg1=arctg\, e-\frac{\pi }{4}\\\\\\3)\ \ \int\limits^{e}_1\, \frac{dx}{x\, (1+ln^2x)}=\int\limits^{e}_1\, \frac{d(lnx)}{1+(lnx)^2}=arctg(lnx)\Big|_1^{e}=arctg\, 1-arctg\, 0=\frac{\pi }{4}$