Question

Розв'яжіть рівняння
$\sqrt{12 + x} - \sqrt{5 - x} = 3$
​

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{12 + x} = 3 + \sqrt{5 - x} \\ 12 + x = 9 + 6 \sqrt{5 - x} + 5 - x \\ 12 + x = 14 + 6 \sqrt{5 - x} - x \\ - 6 \sqrt{5 - x} = 14 - x - 12 - x \\ 6 \sqrt{5 - x} = 2x - 2 \\ 3 \sqrt{5 - x} = x - 1 \\ 9(5 - x) = {x}^{2} - 2x + 1 \\ 45 - 9x = {x}^{2} - 2x + 1 \\ {x}^{2} - 2x + 1 - 45 + 9x = 0 \\ {x}^{2} + 7x - 44 = 0 \\ x_{1} = - 11 \: \: \: \: \: \: x_{2} = 4$

Подставляем корни в начальное выражение:

$\sqrt{12 - 11} - \sqrt{5 - ( - 11)} = 3 \\ \sqrt{1} - \sqrt{16} = 3 \\ 1 - 4 = 3 \\ - 3 = 3$

Так как -3 не равен 3, корень x=-11 отпадает

Подставляем второй корень:

$\sqrt{12 + 4} - \sqrt{5 - 4} = 3 \\ \sqrt{16} - \sqrt{1} = 3 \\ 4 - 1 = 3 \\ 3 = 3$

Так как 3=3 конечный ответ:

x=4

Answer 2

√(12 + x) - √(5 - x) = 3

одз

12 + x ≥ 0    x ≥ -12

5 - x ≥ 0    x ≤ 5

x ∈ [-12, 5]

√(12 + x) = √(5 - x) + 3

обе части положительны возводим в квадрат

(a + b)² = a² + 2ab + b²

12 + x = 5 - x + 6√(5 - x) + 9

12 - 5 - 9 + x + x = 6√(5 - x)

2x - 2 = 6√(5 - x)

x - 1 = 3√(5 - x)    x ≥ 1 (корень четной степени неотрицателен)

x² - 2x + 1 = 9(5 - x)

x² - 2x + 1 = 45 - 9x

x² + 7x - 44 = 0

D = 7² + 4*44 = 225

x₁₂ = (-7 +- 15)/2 = -11    4

x₁ = -11 < 1 нет

x₂ = 4 ∈  [1, 5]

ответ 4