Question

Помогите з матешей
$x^{3}-y^{3}= y^{5}-x^{5} \ \\ x^{2} + y^{2} = 1$


​

Answer 1

$x^3 - y^3 \equiv (x - y)\cdot ( x^2 + xy + y^2)$

$y^5 - x^5 \equiv (y - x)\cdot ( y^4 + y^3 x + y^2 x^2 +y x^3 + x^4)$

Подставив в первое уравнение получим

$(x - y)\cdot ( x^2 + xy + y^2) = (y - x)\cdot ( y^4 + y^3 x + y^2 x^2 +y x^3 + x^4)$

$(x - y)\cdot ( x^2 + xy + y^2 + y^4 + y^3x + y^2 x^2 + y x^3 + x^4) = 0$

1) x - y = 0 или 2) $x^2 + xy + y^2 + y^4 + y^3x + y^2x^2 + y x^3 + x^4 = 0$

1) y = x подставляем во второе уравнение

$x^2 + x^2 = 1$

$2\cdot x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$y_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$y_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

2) Т. к. $x^2 + y^2 = 1$

то получаем

$1 + xy + (y^4 + x^4 + 2x^2y^2) - 2x^2y^2 + y^2x^2 + xy(y^2 + x^2) = 0$

$1 + xy + (x^2 + y^2)^2 - x^2y^2 + xy\cdot 1 = 0$

$1 + xy + 1^2 - x^2y^2 + xy = 0$

$2 + 2xy - (xy)^2 = 0$

$(xy)^2 - 2xy - 2 = 0$

$(xy)^2 - 2xy + 1 - 3 = 0$

$(xy - 1)^2 = 3$

$xy - 1 = \pm\sqrt{3}$

$xy = 1 \pm\sqrt{3}$

2.1) $xy = 1 - \sqrt{3}$

2.2) $xy = 1 + \sqrt{3}$