Question

50 баллов,помогите пожалуйста с пределом​

Answer 1

Ответ:

$\lim\limits _{x \to 0}\Big(1+\dfrac{5}{3x}\Big)^{2x}=\lim\limits _{x \to 0}\, e^{ln(1+\frac{5}{3x})^{{2x}}}=e^{\lim\limits _{x \to 0}ln(1+\frac{5}{3x})^{2x}}=e^{\lim\limits _{x \to 0}2x\cdot ln(1+\frac{5}{3x})^{2x}}=\\\\\\=e^{\frac{10}{3}}\\\\\\\star \ \ \lim\limits _{x \to 0}2x\cdot ln(1+\frac{5}{3x})=\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{ln(1+\frac{5}{3x})}{\frac{1}{2x}}=\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{\frac{1}{1+\frac{5}{3x}}\cdot \frac{-5}{3x^2}}{\frac{-1}{2x^2}}=$

$=\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{\frac{3x}{3x+5}\cdot \frac{5}{3x^2}}{\frac{1}{2x^2}}=\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{5\cdot 2x^2}{x\cdot (3x+5)}=\lim\limits _{x \to 0}\, \dfrac{10x}{3x+5}=\dfrac{10}{3}\ \ \ \ \star$