Question

Помогите решить!

Докажите, используя принцип математической индукции, что значение выражения 5^n+3 + 11^3n+1 делится на 17 при любом натуральном значении n.

Answer 1

1. База индукции. Если n=1

$\displaystyle 5^{1+3}+11^{3*1+1}=5^4+11^4=625+14641=15266\\\\15266:17=898$

Предположение индукции. Пусть при n=k выражение делится на 17.

Индукционный переход. Докажем, что при n=k+1 вырежание делится на 17, то есть справедливость утверждения задачи при n=k.

$\displaystyle 5^{k+1+3}+11^{3(k+1)+1}=5^{k+3}*5+11^{3k+1}*11^3=\\\\=5^{k+3}*5+11^{3k+1}*1331=\\\\=5^{k+3}*5+11^{3k+1}*(5+1326)=5(5^{k+3}+11^{3k+1})+1326*11^{3k+1}$

первое слагаемое кратно 17, второе слагаемое кратно 17 (т.к. 1326:17=78)

значит сумма двух целых чисел, делящихся на 17 тоже будет кратно 17

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное утверждение справедливо для любого натурального n.