Question

СРОЧНО ДАМ 25 БАЛЛОВ помогите с тригонометрией
tg a= -12/5, 3п< a < 2п. Найти cos а/2

Answer 1

Ответ:

$cos(\frac{\alpha }{2} ) = -\frac{3}{\sqrt{13} }$

Пошаговое объяснение:

Сделаем тригонометрические преобразования:

$cos(\frac{\alpha}{2} ) = \sqrt\frac{1 + cos(\alpha )}{2} \\cos(\frac{\alpha}{2} )^{2} = \frac{1 + cos(\alpha )}{2}\\2cos(\frac{\alpha}{2} )^{2} - 1 =cos(\alpha)\\sin(\alpha) = \sqrt1 - cos(\alpha)^2\\sin(\alpha) = 2cos(\frac{\alpha}{2}) \sqrt(1 - cos(\frac{\alpha}{2})^2\\tan(\alpha) = \frac{2cos(\frac{\alpha}{2}) \sqrt(1 - cos(\frac{\alpha}{2})^2}{2cos(\frac{\alpha}{2} )^{2} - 1} \\t = cos(\frac{\alpha}{2})\\tan(\alpha) = \frac{2t \sqrt(1-t^2)}{2t^2 - 1} = -\frac{12}{5}$

Сведем все к квадратному уравнению:

$-12(2t^2-1) = 10t\sqrt(1-t^2)\\-12t^2 + 6 = 5t\sqrt(1-t^2)\\36 - 144t^2 + 144t^4 = 25t^2 (1 -t^2)\\25t^2 - 25t^4 -36 + 144t^2 - 144t^4 = 0\\-169t^4 + 169t^2 - 36 = 0\\t^2 = \frac{4}{13}; \frac{9}{13}\\t = -\frac{2}{\sqrt13}; \frac{2}{\sqrt13}; -\frac{3}{\sqrt13}; \frac{3}{\sqrt13} = cos(\frac{\alpha }{2})$

Воспользуемся условием данным нам в начале. Если 3п< a < 2п, то 3п/2 < a/2 < п => значит косинус отрицательный. Заметим, что один из отрицательных корней не подходит по знаку тангенса (-2/sqrt(13)) => Единственный подходящий корень:

$cos(\frac{\alpha }{2} ) = -\frac{3}{\sqrt{13} }$