Question

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через точки:
1) A (3; -3,2) и B (-4; -2,4)
2) A (-3; 1,75) и эксцентриситет 0,75

Answer 1

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через точки:

1) A (3; -3,2) и B (-4; -2,4)

2) A (-3; 1,75) и эксцентриситет 0,75.

1) Даны две точки: A (3; -3,2) и B (-4; -2,4).

Подставляем координаты заданных точек в уравнение эллипса

(x²/a²) + (y²/b²) = 1

и решаем систему из двух уравнений с двумя параметрами a и b.

{(3²/a²) + ((-3,2)²/b²) = 1 (для точки А),

{((-4)²/a²) + ((-2,4)²/b²) = 1 (для точки В).

{(9/a²) + (10,24/b²) = 1,

{(16/a²) + (5,76/b²) = 1.

Приравнивая левые части, выразим одну переменную через другую

(9/a²) + (10,24/b²) = (16/a²) + (5,76/b²),

9b² + 10,24a² = 16b² + 5,76a²,

10,24a² - 5,76a² = 16b² - 9b²,

4,48a² = 7b²,

a² = (7/4,48)b² и подставим в уравнение эллипса для точки А.

(3²/(7/4,48)b²) + ((-3,2)²/b²) = 1,

9*4,48 + 7*10,24 = 7b²,

40,32 + 71,68 = 7b²,

112 = 7b²,

b² =112/7 = 16,

b = √16 = 4.

Находим второй параметр a² = (7/4,48)b²  = (7/4,48)*16 = 1,5625*16 = 25.

Отсюда а = √25 = 5.

Получаем уравнение эллипса:

(x²/5²) + (y²/4²) = 1.

2) Дана точка A (-3; 1,75) и эксцентриситет эллипса е = 0,75 = 3/4.

Используем свойства эллипса.

Применим формулу е = с/а, отсюда с = е*а = (3/4)а.

Далее из формулы a² = b² + c² находим:

b² = a² - c² = a² - (9/16)a² = (7/16)a².  

Используем координаты заданной точки A (-3; 1,75) в уравнении эллипса:

((-3)²/a²) + (1,75²/(7/16)a²) = 1,

(9/a²) + ((49/16)/(7/16)a²) = 1,

(9/a²) + (7/a²) = 1,

16 = a², отсюда а = √16 = 4.

Находим значение b² = (7/16)a² = (7/16)*16 = 7.

b = √7.

Получаем уравнение эллипса:

(x²/4²) + (y²/(√7)²) = 1.