Question

4. Докажите, что для всех n ЄN верно равенство: 1+3+...+(2n - 1) = n?​

Answer 1

Ответ:

1) Проверяем правильность утверждения при малых n.

n=1: 1=1² - верно

n=2: 1+3=2² - верно

n=3: 1+3+5=3² - верно

2) Предположим, что утверждение верно для n=k.

Тогда справедливо равенство 1+3+5+....+(2k-1)=k².

3) Докажем, что утверждение верно и для n=k+1.

Слева и справа добавим по 2(k+1)-1:

Получим 1+3+5+....+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k²+2(k+1)-1

Преобразуем правую часть.

k²+2(k+1)-1=k²+2k+1=(k+1)².

Таким образом, из того, что 1+3+5+....+(2k-1)=k², следует то, что

1+3+5+....+(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)² - верно для n=k+1.

Объяснение: