Question

Плоскость альфа пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках M и K так, что AM = 1/3 AB, AK = 1/3 AC. Доказать, что прямая BC параллельна плоскости альфа.

Answer 1

Ответ:

Пусть длина отрезка АВ = Х см, АС = У см.

Тогда, по условию АМ = АВ / 3 = Х / 3 см, АК = АС / 3 = У / 3 см.

В треугольниках АВС и АМК угол А общий.

Найдем отношение АВ / АК и АС /АК.

Х / (Х / 3) = 1/3.

У / (У/3) = 1/3.

Тогда эти стороны пропорциональны, а треугольники АВС и АМК подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Угол АМК = АВС как углы подобных треугольников. Но это так же и соответственные углы при пересечении двух прямых ВС и МК секущей АВ.

Тогда ВС параллельна КМ, а так как МК принадлежит плоскости α, то и сама плоскость параллельна ВС, что и требовалось доказать.