Question

найдите косинус угла А треугольника ABC, если A(1;-2); B(2;1); C(1;3).​

Answer 1

Ответ:

cos A = 0.3√10.

Объяснение:

Дано:

Треугольник АВС

A(1;-2); B(2;1); C(1;3)

Найти:

cos A

Решение:

Найдём длины сторон треугольника АВС:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 +(y_B - y_A)^2 } =\sqrt{(2 - 1)^2 +(1 +2)^2 } =\sqrt{10}$

$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 +(y_C - y_B)^2 } =\sqrt{(1 - 2)^2 +(3 - 1)^2 } =\sqrt{5}$

$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 +(y_C - y_A)^2 } =\sqrt{(1 - 1)^2 +(3 +2)^2 } =\sqrt{25} = 5$

Проекции вектора АВ

$\overrightarrow {AB}{x~ = x_B - x_A = 2 - 1 = 1;~~~~~~\overrightarrow {AB}{y~ =y_B - y_A = 1 + 2= 3;$

Проекции вектора АС

$\overrightarrow {AC}{x~ = x_C - x_A = 1 - 1 = 0;~~~~~~\overrightarrow {AC}{y~ =y_C - y_A = 3 + 2= 5;$

Скалярное произведение

$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC }= 1 \cdot 0 +3\cdot 5 = 15.$

С другой стороны скалярное произведение

$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC }= AB \cdot AC\cdot cos~A$

откуда

$cos~A = \dfrac{\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC }}{AB \cdot AC }=\dfrac{15}{5\sqrt{10} } = \dfrac{3\sqrt{10} }{10}$

Проверка

ВС² = АВ² + АС² - 2 · АВ · АС · cos A

BC² = 10 + 25 - 2 · √10 · 5 · 0.3√10  = 5

ВС = √5