Question

Вычислите определители n-го порядка ​

Answer 1

Рисовать определители - долгое дело, поэтому буду стараться объяснять свои действия словами. Вычитая из последней строчки предпоследнюю, из предпоследней - предпредпоследнюю, и так далее, из третьей - вторую, из второй  - первую, получим матрицу, у которой ниже побочной диагонали стоят нули, а на самой побочной диагонали все единицы, только в первой строчке стоит  n. Поэтому определитель равен произведению чисел на побочной диагонали, то есть n, взятому со знаком, определяемому четностью или нечетностью перестановки [n, n-1, n-2, ... , 2, 1] вторых индексов элементов этой диагонали при условии, что первые индексы расположены в порядке возрастания. Ставя единицу на первое место (n-1  транспозиция), двойку на второе место (n-2 транспозиции), и так далее, мы совершим

                      $(n-1)+(n-2)+\ldots +2+1=\dfrac{(n-1)\cdot n}{2}$

транспозиций, поэтому перед произведением  чисел побочной диагонали ставим знак

                                               $(-1)^{\frac{(n-1)\cdot n}{2}}$.

Ответ:   $(-1)^{\frac{(n-1)\cdot n}{2}}n.$      

Замечание. Тем самым знак меняется так: в случае n=2 и ли  3 знак минус, в случае n=4 или 5 знак плюс, дальше еще два минуса, два плюса и . так далее.