Question

Вычислите определители n-го порядка ​

Answer 1

Вычтем из первой строчки вторую строчку, из второй - третью, из третьей - четвертую, и так далее, из предпоследней - последнюю. Получится определитель

$\begin{vmatrix}n-1 &1-n & 0 & \ldots & 0&0\\ 0& n-1 & 1-n& \ldots &0&0\\ 0 & 0 & n-1 & \ldots & 0&0\\ \hdotsfor{6}\\ 0& 0&0& \ldots & n-1& 1-n\\ 1 &1&1& \ldots. & 1&n\end{vmatrix}$

Вынося и з всех строчек, кроме последней, множитель (n-1), получаем

$(n-1)^{n-1}\cdot\begin{vmatrix}1 &-1 & 0 & \ldots & 0&0\\ 0& 1 & -1& \ldots &0&0\\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0&0\\ \hdotsfor{6}\\ 0& 0&0& \ldots & 1& -1\\ 1 &1&1& \ldots. & 1&n\end{vmatrix}.$

Остается вычесть из последней строчки первую строчку, удвоенную вторую, утроенную третью, и так далее, предпоследнюю, умноженную на (n-1). Получится определитель верхнетреугольной матрицы, который, как известно, равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

$(n-1)^{n-1}\cdot\begin{vmatrix}1 &-1 & 0 & \ldots & 0&0\\ 0& 1 & -1& \ldots &0&0\\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0&0\\ \hdotsfor{6}\\ 0& 0&0& \ldots & 1& -1\\ 0&0&0& \ldots. & 0&2n-1\end{vmatrix}=(n-1)^{n-1}\cdot(2n-1).$

Проверим полученный ответ для значений n=2 и 3 (при . n=1 выведенная формула не работает):

определитель второго порядка равен $2\cdot 2-1\cdot 1=3=(2-1)^{2-1}\cdot(2\cdot 2-1) -$ верно;

$27+1+1-3-3-3=20=(3-1)^{3-1}\cdot (2\cdot 3-1) -$ верно.

Ответ: $(n-1)^{n-1}\cdot (2n-1)$ при n>1;  1 при n=1.