Question

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором AB = 8 см. Диагонали AC и BD основания ABCD пересекаются в точке O. AOB = 60°. Диагональ B1D образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём параллелепипеда.

Answer 1

Ответ:

1024 см³

Объяснение:

• Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

АО = ОВ, ΔАОВ равнобедренный, а так как ∠АОВ = 60°, то он равносторонний.

АО = ОВ = АВ = 8 см.

АС = BD = 2АО = 16 см

• Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AC^2\cdot \sin 60^\circ$

$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot 16^2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{256\sqrt{3}}{4}=64\sqrt{3}$ см²

ΔB₁BD:  ∠B₁BD = 90°,

$tg\angle B_1DB=\dfrac{BB_1}{BD}$

$BB_1=BD\cdot tg 30^\circ=16\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$ см

• Объем прямоугольного параллелепипеда можно найти как произведение площади основания на высоту.

$V=S_{ABCD}\cdot BB_1$

$V=64\sqrt{3}\cdot \dfrac{16\sqrt{3}}{3}=64\cdot 16=1024$ см³