Question

Помогите пожалуйста
Найдите частные решения дифференциальных уравнений: a)(1+x²)dy-2x*(y+3)dx=0, если y0=-1 при x0=0; б) (1+y²)dx=xydy, если y0=1 при x0=2.​

Answer 1

Ответ:

а)

$y=2*(x^{2}+1)-3$

б)

$x=\sqrt{2} *\sqrt{y^{2}+1}$

Пошаговое объяснение:

а) Сначала решаем уравнение

(1+x²)dy-2x*(y+3)dx=0

$(1+x^{2})dy=2x*(y+3)dx\ |:(1+x^{2})(y+3)\\\\\frac{1}{y+3} dy=\frac{2x}{1+x^{2}} dx$

Интегрируем  

$\int\ \frac{1}{y+3} dy=\int\ \frac{2x}{1+x^{2}} dx\\\\\int\ \frac{1}{y+3} dy=ln(y+3)+C\\\int\ \frac{2x}{1+x^{2}} dx=\int\ \frac{dx^{2}}{1+x^{2}} =\int\ \frac{d(x^{2}+1)}{1+x^{2}} =ln(x^{2}+1)+C$

Для удобства пишем свободный  член  $lnC$

$ln(y+3)=ln(x^{2}+1)+lnC\\\\ln(y+3)=ln(C*(x^{2}+1))$

Экспоненцируем

$y+3=C*(x^{2}+1)\\y=C*(x^{2}+1)-3$

Решаем задачу Коши

y0=-1 при x0=0

__

$-1=C*(0^{2}+1)-3\\\\-1+3=C*1\\C=2$

Решение:

$y=2*(x^{2}+1)-3$

б)

$(1+y^{2})dx=xydy\ |:(1+y^{2})x\\\\\frac{1}{x} dx=\frac{y}{1+y^{2}} dy$

Интегрируем  

$\int\ frac{1}{x} dx=\int\ \frac{y}{1+y^{2}} dy\\\\\int\ frac{1}{x} dx=lnx+C\\\int\ \frac{y}{1+y^{2}} dy=\int\ \frac{dy^{2}}{2(1+y^{2})} =\int\ \frac{d(y^{2}+1)}{2(1+y^{2})} =\frac{1}{2} ln(y^{2}+1)+C$

Для удобства пишем свободный  член  $lnC$

$lnx=\frac{1}{2} ln(y^{2}+1)+lnC\\lnx=\ln(\sqrt{y^{2}+1})+lnC\\lnx=ln(C*\sqrt{y^{2}+1})$

Экспоненцируем

$x=C*\sqrt{y^{2}+1}$

Решаем задачу Коши

y0=1 при x0=2.​

$2=C*\sqrt{1^{2}+1}\\2=C*\sqrt{2}\\C=\frac{2}{\sqrt{2}} \\C=\sqrt{2}$

Решение:

$x=\sqrt{2} *\sqrt{y^{2}+1}$