Question

Докажите,что разность квадратов двух последовательных четных чисел не делится на степень 2,большую,чем 2 во второй степе

Answer 1

$n_1 = 2m, n_2 = 2(m + 1)\\ n_2^2 - n_1^2 = 4(m+1)^2 - 4m^2 = 4(m^2 + 2m + 1) - 4m^2 = 4(2m + 1)$

Число 2m + 1 нечетное, а значит оно не делится на степень двойки.

Answer 2

Теперь можно от противного предположить, пусть число делиться на 2^n, n > 2. Тогда оно равно 2^n*с (где с - натуральное или целое, как вам удобней рассуждать). Но 2^n*c = 4*(2m + 1), сократим запись на четыре. 2^{n - 2}*c = (2m + 1). Так как левая часть делиться на два, то должна делиться и правая. Но это невозможно, ибо в правой части нечетное число. Доказано от противного.