в пирамиде abcd найти угол cab площадь abc и объем пирамиды
a(2,3,3), b(3,2,-1), c(3,-1,2), d(1,1,1)
Ответы
В пирамиде abcd найти угол cab площадь abc и объем пирамиды
a(2,3,3), b(3,2,-1), c(3,-1,2), d(1,1,1).
1) угол САВ - это между рёбрами АС и АВ.
Находим векторы АС и АВ и их модули
АС = C(3; -1; 2) - A(2; 3; 3) = (1; -4; -1),
|AC| = √(1² + (-4)² + (-1)²) = √(1 + 16 + 1) = √18 = 3√2.
АB = B(3; 2; -1) - A(2; 3; 3) = (1; -1; -4),
|AB| = √(1² + (-1)² + (-4)²) = √(1 + 1 + 16) = √18 = 3√2.
Косинус угла равен:
cos(AC_AB) = (1*1+(-4)*(-1)+(-1)*(-4))/(3√2*3√2) = (1+4+4)/18 = 9/18 = 1/2.
Угол равен arccos(1/2) = 1,0472 радиан или 60 градусов.
2) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ(1; -1; -4) и АС(1; -4; -1).
Находим векторное произведение по схеме Саррюса.
i j k| i j
1 -1 -4| 1 -1
1 -4 -1| 1 -4 = 1i – 4j – 4k + 1j – 16i + 1k = -15i – 3j – 3k.
Найден нормальный вектор грани АBC: (-15; -3; -3).
Его модуль равен √((-15)² + (-3)² + (-3)²) = √(225 + 9 + 9) = √243 = 9√3.
S = (1/2)*( 9√3) = 9√3/2 ≈ 7,794 кв. ед.
3) Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов AB, AC, AD.
Нормальный вектор грани АBC(-15; -3; -3) как векторное произведение векторов АВ и АС найден в п. 2).
Находим вектор АD.
АD = D(1; 1; 1) - A(2; 3; 3) = (-1; -2; -2).
Находим произведение (ABxAC)*AD.
(ABxAC)= -15 -3 -3
АD = -1 -2 -2
15 + 6 + 6 = 27.
V = (1/6)*27 = 27/6 = 9/2 = 4,5 куб. ед.