Question

бабушка испекла 11 пирожков. сколькими способами она может их раздать 4 внукам так, чтобы каждый получил хоть что-то

Answer 1

Ответ: 120

Пошаговое объяснение:

4 внука

$x_1 \ ; \ x_2 \ ;\ x_3 \ ; \ x_4$

Известно что

$x_1+x_2+x_3+x_4=11 \\\\ x_1\geq 1 \ ; \ x_2\geq 1 \ ; \ x_3\geq 1 \ ; \ x_4\geq 1$
Для того чтобы можно было применить формулу сочетаний с повторениями нужно , чтобы у каждого   внука могло быть 0 пирожков

Для этого сделаем замену :

$x_1=y_1+1 \ ; \ x_2= y_2+1 \ ; \ x_3=y_3+3 \ ; \ x_4=y_4+1$

Подставим :

$y_1+1+y_2+1+y_3+1+y_4+1=11 \\\\ y_1+y_2+y_3+y_4=7$

Выйдет сочетание с повторением

$\overline{C}_n^k =\dfrac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

В нашем случае n=4 (кол-во внуков ) ; k=7 (кол-во пирожков )

Тогда

$\overline{C}_n^k =\dfrac{(4+7-1)!}{7!(4-1)!}=\dfrac{10!}{7!\cdot 3!} =\dfrac{10\cdot 9 \cdot 8 }{6} =120$