Question

Помогите, пожалуйста, найти предел , не используя правило Лопиталя
lim(x стремится к 0) = (cos(5x) -1)/(x*tg2x)

Answer 1

Ответ:

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{cos\, 5x-1}{x\cdot tg2x}=\Big[\ 1-cos\, \alpha (x)=2sin^2\dfrac{\alpha (x)}{2}\ \Big]=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-2sin^22,5x}{x\cdot tg2x}=\\\\\\=\Big[\ sin\alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ tg\alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ \alpha (x)\to 0\ \Big]=\\\\\\=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-2\cdot (2,5x)^2}{x\cdot 2x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-6,25x^2}{x^2}=-6,25$

Answer 2

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x\cdot tg(2x)} = L$

cos(5x) - 1 ≡ cos²(5x/2) - sin²(5x/2) - (cos²(5x/2) + sin²(5x/2)) ≡ -2sin²(5x/2)

$tg y \sim y$ при $y \to 0$

$\sin z \sim z$ при $z \to 0$

При $x \to 0$ имеем $\frac{5x}{2} \to 0$ и $2x \to 0$

$tg(2x) \sim 2x$

$\sin(\frac{5x}{2}) \sim \frac{5x}{2}$

$L = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2(\frac{5x}{2})}{x\cdot tg(2x)} =$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-2\cdot \frac{5x}{2}\cdot\frac{5x}{2}}{x\cdot 2x} =$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-2\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{5}{2}}{2} = -\frac{25}{4}$