Question

помогите пожалуйста решить log_1/3⁡〖(х-3)〗 + log_1/3⁡〖(12-х)〗≥ - 2

Answer 1

Ответ:

х€(3; (15-3√5)/2] U [ (15+3√5)/2; 12)

Объяснение:

$log_{ \frac{1}{3} }(x - 3) + log_{ \frac{1}{3} }(x - 3) \geqslant - 2$

ОДЗ:

(х-3)>0, х>3

12-х>0, х<12

3<х<12

$log_{ \frac{1}{3} }((x - 3) \times (12 - x)) \geqslant - 2 \\ log_{ \frac{1}{3} }( - {x}^{2} + 15x - 36) \geqslant - 2$

$- 2 = log_{ \frac{1}{3} }{( \frac{1}{3} )}^{ - 2} = log_{ \frac{1}{3} }9$

$log_{ \frac{1}{3} }( - {x}^{2} + 5x - 36) \geqslant log_{ \frac{1}{3} }9$

простейшее показательное неравенство, основание логарифма 0<а<1, знак неравенства меняем

$- {x}^{2} + 15x - 36 \leqslant 9 \\ - {x}^{2} + 15x - 45 \leqslant 0 \div | ( - 1) \\ {x}^{2} - 15x + 45 \geqslant 0$

метод интервалов:

1).

${x}^{2} - 15x + 45 = 0 \\ x_{1} = \frac{15 - 3 \sqrt{5} }{2} \\ x_{2} = \frac{15 + 3 \sqrt{5} }{2}$

2).

+++[(5+3√5)/2]---[ (15+3√5)/2]++ >х

$x \leqslant \frac{15 - 3 \sqrt{5} }{2} \\ x \geqslant \frac{15 + 3 \sqrt{5} }{2}$

учитывая ОДЗ, получим:

х€(3; (15-3√5)/2]U[ (15+3√5)/2]; 12)

знак "€" читать "принадлежит"