Question

Известны координаты A1(3;5;4) A2(5;8;3) A3(1;2;-2) A4(-1;0;2) в прямоугольной системе координат Oxyz вершин пирамиды A1 A2 A3 A4

Answer 1

4.1 найдем смешанное произведение векторов

→А₁А₂(-2;3;-1); →А₁А₃(-2;-3;-6); →А₁А₄(-4;-5;-2)- от координат конца отняли координаты начала векторов.

далее составляем определитель, строками которого служат найденные координаты векторов

2    3  -1

-2  -3  -6=

-4  -5  -2

= 12+72-10+12-60-12=14,

Для нахождения объема пирамиды модуль смешанного произведения I14I=14 умножим на 1/6, получим 14/6=7/3.

4.2 для нахождения канонического уравнения прямой А₁А₂ используем формулу

(х-х₁)/(х₂-х₁)=(у-у₁)/(у₂-у₁)=(z-4)/(z₂-z₁)

(х-3)/(5-3)=(y-5)/(8-5)/=(z-4)/(3-4), после упрощения (х-3)/2=(y-5)/3=(z-4)/(-1)

4.3 найдем определитель , приравняем его к нулю. упростим уравнение. получим

(х-3)   (у-5)   (z-4)

5-3     5-5     3-4  =0

1-3     2-5     -2-4

(х-3)   (у-5)   (z-4)

2        0        -1                   =0

-2       -3    -6

разложим определитель по элементам первой строки.

(-1)²*(х-3)*(0-3)+(-1)³ *(у-5)*(-12-2)+(-1)⁴ * (z-4)(-6-0)=0

-3х+9+14у-70-6z+24=0

-3х+14у-6z-37=0

Answer 2

Известны координаты A1(3;5;4) A2(5;8;3) A3(1;2;-2) A4(-1;0;2) в прямоугольной системе координат Oxyz вершин пирамиды A1 A2 A3 A4

 

4.1) Находим векторы.

А1А2 = (5-3; 8-5; 3-4) = (2; 3; -1).

А1А3 = (1-3; 2-5; -2-4) = (-2; -3; -6).

А1А4 = (-1-3; 0-5; 2-4) = (-4; -5; -2).

Находим смешанное произведение векторов по схеме Саррюса.

2      3    -1|      2       3

-2    -3    -6|     -2      -3

-4    -5    -2|     -4      -5 = 12 + 72 – 10 – 12 – 60 + 12 = 14.

Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения.

V = (1/6)*|14| = 14/6 = 7/3.

4.2) Уравнение прямой  А1А2 находим по координатам точки А1(3;5;4) и найденному направляющему вектору А1А2(2; 3; -1).

(x – 3)/2 = (y – 5)/3 = (z – 4)/(-1).

4.3) Для составления уравнения плоскости А1А2А3 находим векторное произведение векторов А1А2 и А1А3.

Вектор А1А2(2; 3; -1) уже найден.

Вектор А1А3 (-2; -3; -6) тоже найден.

Их векторное произведение по схеме Саррюса равно:

I       j       k|       I        j

2      3     -1|      2       3

-2    -3     -6|     -2     -3  =  -18i + 2j – 6k + 12j – 3i + 6k = -21i + 14j + 0k.

Используя координаты точки А1(3; 5; 4) и нормальный вектор плоскости А1А2А3, найденный как векторное произведение и равный (-21; 14; 0), составляем уравнение плоскости А1А2А3:

-21(x – 3) + 14(y – 5) + 0*(z – 4) = 0,

-21x + 63 + 14y – 70 = 0,

-21x + 14y - 7 = 0 или с положительным коэффициентом при первой переменной и, сократив на 7, получаем:

3x - 2y + 1 = 0.