Известны координаты A1(3;5;4) A2(5;8;3) A3(1;2;-2) A4(-1;0;2) в прямоугольной системе координат Oxyz вершин пирамиды A1 A2 A3 A4
![](https://st.uroker.com/files/645/6454d45fefcffec781a7e09c57b6e04e.png)
Ответы
4.1 найдем смешанное произведение векторов
→А₁А₂(-2;3;-1); →А₁А₃(-2;-3;-6); →А₁А₄(-4;-5;-2)- от координат конца отняли координаты начала векторов.
далее составляем определитель, строками которого служат найденные координаты векторов
2 3 -1
-2 -3 -6=
-4 -5 -2
= 12+72-10+12-60-12=14,
Для нахождения объема пирамиды модуль смешанного произведения I14I=14 умножим на 1/6, получим 14/6=7/3.
4.2 для нахождения канонического уравнения прямой А₁А₂ используем формулу
(х-х₁)/(х₂-х₁)=(у-у₁)/(у₂-у₁)=(z-4)/(z₂-z₁)
(х-3)/(5-3)=(y-5)/(8-5)/=(z-4)/(3-4), после упрощения (х-3)/2=(y-5)/3=(z-4)/(-1)
4.3 найдем определитель , приравняем его к нулю. упростим уравнение. получим
(х-3) (у-5) (z-4)
5-3 5-5 3-4 =0
1-3 2-5 -2-4
(х-3) (у-5) (z-4)
2 0 -1 =0
-2 -3 -6
разложим определитель по элементам первой строки.
(-1)²*(х-3)*(0-3)+(-1)³ *(у-5)*(-12-2)+(-1)⁴ * (z-4)(-6-0)=0
-3х+9+14у-70-6z+24=0
-3х+14у-6z-37=0
Известны координаты A1(3;5;4) A2(5;8;3) A3(1;2;-2) A4(-1;0;2) в прямоугольной системе координат Oxyz вершин пирамиды A1 A2 A3 A4
4.1) Находим векторы.
А1А2 = (5-3; 8-5; 3-4) = (2; 3; -1).
А1А3 = (1-3; 2-5; -2-4) = (-2; -3; -6).
А1А4 = (-1-3; 0-5; 2-4) = (-4; -5; -2).
Находим смешанное произведение векторов по схеме Саррюса.
2 3 -1| 2 3
-2 -3 -6| -2 -3
-4 -5 -2| -4 -5 = 12 + 72 – 10 – 12 – 60 + 12 = 14.
Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения.
V = (1/6)*|14| = 14/6 = 7/3.
4.2) Уравнение прямой А1А2 находим по координатам точки А1(3;5;4) и найденному направляющему вектору А1А2(2; 3; -1).
(x – 3)/2 = (y – 5)/3 = (z – 4)/(-1).
4.3) Для составления уравнения плоскости А1А2А3 находим векторное произведение векторов А1А2 и А1А3.
Вектор А1А2(2; 3; -1) уже найден.
Вектор А1А3 (-2; -3; -6) тоже найден.
Их векторное произведение по схеме Саррюса равно:
I j k| I j
2 3 -1| 2 3
-2 -3 -6| -2 -3 = -18i + 2j – 6k + 12j – 3i + 6k = -21i + 14j + 0k.
Используя координаты точки А1(3; 5; 4) и нормальный вектор плоскости А1А2А3, найденный как векторное произведение и равный (-21; 14; 0), составляем уравнение плоскости А1А2А3:
-21(x – 3) + 14(y – 5) + 0*(z – 4) = 0,
-21x + 63 + 14y – 70 = 0,
-21x + 14y - 7 = 0 или с положительным коэффициентом при первой переменной и, сократив на 7, получаем:
3x - 2y + 1 = 0.