Question

в геометрической прогрессии известно, что b1+b4=27, b2+b3=18. Найдите первый член и знаменатель прогрессии

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle b_1=3 \ , \ q_1=2 \ \ ; \ \ b_1'=24 \ , \ q_2=1/2$

Объяснение:

$\displaystyle \begin{cases} b_1+b_4=27 \\\\ b_2+b_3=18 \end{cases}$

Воспользуемся формулами :

$\sf \ b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

$\sf \displaystye b_2=b_1q \\\\ b_3=b_1q^2 \\\\ b_4=b_1q^3$  

Где b₁- первый член прогрессии ; q-знаменатель прогрессии

Подставим :

$\displaystyle \begin{cases} b_1+b_1 q^3=27 \\\\ b_1q+b_1q^2=18 \end{cases}$

Вынесем за скобки общий  множитель :

$\displaystyle \begin{cases} b_1(1+q^3)=27 \\\\ b_1q(1+q)=18 \end{cases}$

$q^3+1=(q+1)(q^2-q+1)$

Подставим и разделим

$\div \displaystyle \begin{cases} b_1(1+q)(q^2-q+1)=27 \\\\ b_1q(1+q)=18 \end{cases} \Leftrightarrow \\\\\\\\ \frac{\not \!b_1(1+q) \!\!\!\!\!\!\!\bigg \slash(q^2-q+1)}{\not \!b_1q(1+q) \!\!\!\!\!\!\!\bigg \slash } =\frac{27}{18}$

$\displaystyle \frac{q^2-q+1}{q} =\frac{3}{2 } \\\\\\ 2q^2-2q+2=3q \\\\\\ 2q^2-5q+2=0 \\\\ D=25-16=9 \\\\ q_1=\frac{5+3}{4} =2\\\\\\ q_2=\frac{5-3}{4} =\frac{1}{2}$

Тогда первый член будет принимать два различных значения :

Подставим q в данное уравнение

$b_1q(1+q)=18$

$b_1=\dfrac{18}{q(1+q)} \\\\\\ pri \ q_1=2 \\\\ b_1=\dfrac{18}{2\cdot 3} =3 \\\\\\ pri \ q_2=1/2 \\\\ b_1'=\dfrac{18}{\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{3}{2} } =24$

Answer 2

Ответ: знаменатель равен 2, первый член равен 3. См фото.

Объяснение: