Question

65 БАЛЛОВ! Первый, второй и шестой члены арифметической прогрессии представляют собой первые три члена геометрической прогрессии. Если к членам этой геометрической прогрессии добавить 2, 5 и 21, то получается первые три члена некоторой геометрической прогрессии. Найдите сумму первых 90 членов исходной арифметической прогрессии.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

В геометрической прогрессии c членами :

$b_1 \ ; \ b _2 \ ; \ b_3$

Верно равенство :

$\displaystyle \frac{b_1}{b_2} =\frac{b_2}{b_3}$

Решение:

По условию :

$a_1 \ ; \ a_2 \ ; \ a_6$ - являются членами геометрической прогрессии

Их можно представить в виде

$a_1 \ ; \ a_1+d \ ; \ a_1+5d$

Тогда верно равенство отношений

$\displaystyle \frac{a_1}{a_1+d} =\frac{a_1+d}{a_1+5d} \\\\\\ a_1(a_1+5d)=(a_1+d)^2 \\\\\\ a_1^2+5a_1d=a_1^2+2a_1d+d^2 \\\\\\ 3a_1d=d^2 \\\\\\ d=3a_1$

Дальше по условию сказано что если к этим-же членам прогрессии добавить числа 2 ; 5 ; 21

То снова выйдет геометрическая прогрессия

Аналогично

$a_1+2 \ ; \ a_2+5 ; \ a_6+21 \\\\\ a_1 +2\ ; \ a_1+d+5 \ ; \ a_1+5d+21$

Подставим $d=3a_1$

$a_1+2 \ ; \ a_1+3a_1+5 \ ; \ a_1+3a_1\cdot 5+21 \\\\ a_1+2 \ ; \ 4a_1+5 \ ; \ 16a_1+21$

Будет снова верно  равенство отношений (т.к это геометрическая прогрессия )

$\displaystyle \frac{a_1+2}{4a_1+5} =\frac{4a_1+5}{16a_1+21} \\\\\\ (a_1+2)(16a_1+21)=(4a_1+5)^2 \\\\ \underline{16a_1^2}+53a_1+42=\underline{16a_1}^2+40a_1+25 \\\\ 53a_1-40a_1=25-42 \\\\ 13a_1=-17 \\\\ a_1=-\frac{17}{13} \ ; \ d=3a_1=-\frac{51}{13}$

Сумма первых 90 членов

$\displaystyle a_{90}=a_1+89d= -\frac{17}{13}-89\cdot\frac{51}{13}=-\frac{4556}{13} \\\\\\\\ S_{90}=\displaystyle \frac{a_1+a_{90} }{2} \cdot 90 =\frac{-\dfrac{17}{13} -\dfrac{4556}{13} }{2}\cdot 90 =-\frac{205785}{13} =\boxed{-15829\frac{8}{13}}$

(P.s возможно в задаче опечатка ; потому-что решение задачи становиться муторным в некоторых местах ;  особенно без  использования калькулятора )