Ответы
6. -0.5∫dx²/(x⁴-1)=-0.5*0.5*㏑I(x²-1)/(x²+1)I+c;
7. найдем производную от знаменателя. она равна 2х-3 и выразим через нее числитель 2х-1=(2х-3)+2, попутно выделим полный квадрат из знаменателя. х²-3х+2=(х-3/2)²-9/4+2=(х-3/2)²-1/4; сначала найду неопределенный интеграл, потом по формуле Ньютона -Лейбница посчитаю определенный.
распишем исходный ∫(2х-1)/(х²-3х+2)dx=
∫d(x²-3x+2)/(x²-3x+2)+2∫d(x-1.5)/((x-1.5)²-(1/2)²)=
㏑Ix²-3x+2I+2*(1/(2*0.5))㏑I(x-1.5-0.5)/(x-1.5+0.5)I=
㏑Ix²-3x+2I+2*㏑I(x-2)/(x-1)Iподставим верхний предел 4, потом 3, и от первого результата вычтем второй.
㏑I4²-3*4+2I+2*㏑I(4-2)/(4-1)I-(㏑I3²-3*3+2I+2*㏑I(3-2)/(3-1)I)=
㏑I6I+㏑I2/3I-(㏑I2I+2*㏑I(1)/(2)I)=㏑4-㏑1=㏑4
3. Найдем пределы интегрирования.
2х-0.25х²=0.25х+1.5; 8х-х²=х+6; х²-7х+6=0, по Виету х=1;х=6, далее найдем разность 2х-0.25х²-0.25х-1.5=(-1/4)х²+(7/4)х-3/2, , берем интеграл от этого выражения. получаем (-1/12)х³+(7/8)х²-3х/2
по формуле Ньютона -Лейбница находим определенный интеграл. это и будет искомая площадь
(-1/12)*6³+(7/8)*6²-3*6/2-((-1/12)+(7/8)-3/2)=-18+31.5-9+1/12-0.875+1.5=41.125=
5.125+1/12=5 5/24(ед. кв.)