Question

Записать уравнение касательной к кривой
$y = 3 \tan(2x) + 1$
в точке с абсциссой
$x = \frac{\pi}{2}$
​

Answer 1

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$:

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Рассмотрим функцию:

$y=3\,\mathrm{tg}\,2x+1$

$y(x_0)=y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\,\mathrm{tg}\,\left(2\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)+1=3\,\mathrm{tg}\,\pi +1=3\cdot0+1=1$

Найдем производную функции:

$y'=(3\,\mathrm{tg}\,2x+1)'=3\cdot\dfrac{1}{\cos^22x}\cdot(2x)'=\dfrac{3}{\cos^22x}\cdot2=\dfrac{6}{\cos^22x}$

$y'(x_0)=\dfrac{6}{\cos^2\left(2\cdot\dfrac{\pi }{2}\right)}=\dfrac{6}{\cos^2\pi}=\dfrac{6}{(-1)^2}=6$

Подставим все данные в уравнение касательной:

$y=1+6\left(x-\dfrac{\pi }{2}\right)$

$y=1+6x-3\pi$

$\boxed{y=6x+1-3\pi}$