Question

100 БАЛЛОВ. Сумма первых трёх чисел возрастающей геометрической прогрессии равна 65. Если к этим числам прибавить 33,27, 1 соответственно, то получится арифметическая прогрессия. Найдите пятый член исходной геометрической прогрессии.​

Answer 1

Ответ: $b_5=405$

Объяснение:

В геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q

Так как прогрессия возрастающая то q> 1 ; b₁>0

Cумму первых трех членов можно представить в виде :

$b_1+b_2+b_3=b_1(1+q+q^2)$

По условию :

$b_1+b_2+b_3=65 \\\\ b_1(1+q+q^2)=65 \\\\ b_1=\dfrac{65}{1+q+q^2}$

Также сказано что

Если к этим числам прибавить 33,27, 1 выйдет арифметическая прогрессия

$\underbrace{b_1+33}_{a_1} \ ; \ \underbrace{b_2+27}_{a_2} \ ; \ \underbrace{b_3+1}_{a_3}$

Тогда будет верно равенство

$a_1+a_3=2a_2 \\\\ b_1+33+b_3+1=2(b_2+27) \\\\ b_1+b_3+34=2b_2+54 \\\\ b_1q^2+b_1-2b_1q=20 \\\\ b_1(q^2-2q+1)=20$

Подставим

$b_1=\dfrac{65}{1+q+q^2}$

Выйдет :

$\displaystyle \frac{65(q^2-2q+1)}{1+q+q^2} =20 \ \ |:5 \\\\\\\frac{13(q^2-2q+1)}{1+q+q^2} =4 \\\\\\ 13q^2-26q+13=4q^2+4q+4 \\\\ 9q^2-30q+9=0 \ \ | :3 \\\\ 3q^2-10q+3=0 \\\\ D=100-36=64 \\\\ q_1=\frac{10+8}{6} =\boxed{3} \\\\\\ q_2=\frac{10-8}{6} =\frac{1}{3} \ ; \ q<1 \to \varnothing$

Тогда

$b_1=\dfrac{65}{1+q+q^2}=\dfrac{65}{1+3+9} =5$

Нужно найти пятый член

$b_5=b_1\cdot q^4=5\cdot 3^4=\boxed{405 }$