Question

Помогите найти неопределенный интеграл:

∫ ln |tg2x| / cos^2(2x)

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \tt I= \dfrac{1}{2} (tg2x \cdot ln|tg2x|-tg2x)+C$

Пошаговое объяснение:

Формула интегрирования по частям:

$\displaystyle \tt \int\limits {u} \, dv=u \cdot v-\int\limits {v} \, du.$

Дан неопределенный интеграл

$\displaystyle \tt I= \int\limits {\dfrac{ln|tg2x|}{cos^22x} } \, dx .$

1) Заменим переменную: y=tg2x. Так как

$\tt dy=\dfrac{2dx}{cos^22x},$

то получим

$\displaystyle \tt I= \dfrac{1}{2} \int\limits {lny} \, dy.$

2) Применим формулу интегрирования по частям. Положим

u=lny, dv=dy.

Отсюда

$\displaystyle \tt du=\frac{dy}{y} , \; v=y.$

Тогда

$\displaystyle \tt I= \dfrac{1}{2} (y \cdot lny-\int\limits {y \cdot \frac{dy}{y} } \,)= \dfrac{1}{2} (y \cdot lny-\int\limits {1 \; dy } \,)=\dfrac{1}{2} (y \cdot lny-y)+C.$

3) Сделаем обратную замену:

$\displaystyle \tt I= \dfrac{1}{2} (tg2x \cdot ln|tg2x|-tg2x)+C.$