Question

помогите пожалуйста решить

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Найдем производные сложных функций:

1.

$\displaystyle y=ln(sin\;x+\sqrt[3]{x} )=ln(sin\;x+x^{\frac{1}{3} })$

$\displaystyle y'=\frac{1}{sin\;x+x^{\frac{1}{3} }} *(sin\;x+x^{\frac{1}{3} })'=\\\\=\frac{1}{sin\;x+x^{\frac{1}{3} }} *(cosx+\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3} } )\\\\=\frac{cos\;x+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2} } }{sin\;x+\sqrt[3]{x} }$

2.

$\displaystyle y=5^{8tg^2x}$

$\displaystyle y'=5^{8tg^2x}ln5*(8tg^2x)'=\\\\=5^{8tg^2x}ln5*8*2tg\;x*(tg\;x)'=\\\\=5^{8tg^2x}ln5*8*2tg\;x*\frac{1}{cos^2x}=\\\\=\frac{16*5^{8tg^2x}ln5*tg\;x}{cos^2x}$

3.

$\displaystyle y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1} }=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{1}{2} }$

$\displaystyle y'=\frac{1}{2}*\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-\frac{1}{2} } *\left(\frac{x-1}{x+1}\right)'=\\\\=\frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{2} } *\frac{1*(x+1)-(x-1)*1}{(x+1)^2}=\\\\=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+1}{x-1} } *\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} =\\\\=\frac{\sqrt{x+1}*2 }{2*\sqrt{x-1}*(x+1)^2 } =\frac{1}{\sqrt{x-1}*\sqrt{x+1}*(x+1) } =\\\\=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}\;(x+1) }$

4.

$\displaystyle y=cos\;5x*arccos\;\sqrt{x} =cos\;5x*arccos\;x^{\frac{1}{2} }$

$\displaystyle y'=-sin\;5x*(5x)'*arccos\;x^{\frac{1}{2} }+cos\;5x*\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x} }\right)*(x^{\frac{1}{2})' }\\\\= -sin\;5x*5*arccos\;x^{\frac{1}{2} }-cos\;5x*\frac{1}{\sqrt{1-x} } *\frac{1}{2x^{\frac{1}{2} }} \\\\=-5sin\;5x*arccos\sqrt{x} -\frac{cos\;5x}{2\sqrt{x\;(1-x)} }$

Использовали формулы производной произведения и частного:

$\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\\\\\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$