Question

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

y′′ − 4y′ + 4 = 0 (0) = 1; '(0) = 3

Answer 1

Ответ:

$y = C_1e^{4x} + x + C_2$ - общее решение

$y = \cfrac{1}{2}e^{4x} + x + \cfrac{1}{2}$ - частное решение

Объяснение:

1)

$y'' - 4y' + 4 = 0\\\\y'' - 4y' = -4\\\\k^2 - 4k = 0\\\\(k - 4)k = 0\\\\k_{1} = 4\\\\k_2 = 0 \\\\ Y = C_1e^{4x} + C_2$

2)

$\overline{y} = Ax \\\\ \overline{y}' = A \\\\ \overline{y}'' = 0 \\\\ \overline{y}'' - 4\overline{y}' = -4 \\\\ -4A = -4 \\\\ A = 1 \\\\ \overline{y} = x$

3)

$y = Y + \overline{y} = C_1e^{4x} + x + C_2$

4)

$y = C_1e^{4x} + x +C_2, \ y(0) = 1, \ y'(0) = 3 \\\\\\y(0) = C_1 + C_2 = 1 \\\\\\y' = 4C_1e^{4x} + 1\\\\y'(0) = 4C_1 + 1 = 3 \\\\\\C_1 = \cfrac{1}{2} \\\\\\C_2 = 1 - C_1 = \cfrac{1}{2} \\\\y = \cfrac{1}{2}e^{4x} + x + \cfrac{1}{2}$

Answer 2

y′′ − 4y′ + 4 = 0

Решим характеристическое уравнение

к²-4к=0;

к*(к-4)=0

к₁=0; к₁=4;

общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

уобщ. =с₁*е^(0*x)+c₂e^(4х), или уобщ.=с₁+c₂e^(4х)

т.к. y′′ − 4y′=- 4 , то частное решение  ищем по правой части, которая представляет из себя многочлен нулевой степени, учитав, что 0-однократный корень характеристического уравнения. значит.

уч.=Ах,

у'=А,

у''=0

для определения А , подставим уч.=Ах, у'=А, у''=0 в исходное уравнение,

-4А=-4, значит, А=1, уч.=х,

зная, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего  решения однородного и частного решения неоднородного,

получим Y=уо.o+yо.н., подставим найденные уо.o и yо.н в это равенство, получим Y=с₁+c₂e^(4х)+х- общее решение неоднородного дифференциального уравнения

найдем первую  производную

Y'=(с₁+c₂e^(4х)+х)'=4c₂e^(4х)+1

для нахождения с ₁ и с₂ в задаче Коши подставим начальные условия.

Получим

с₁+c₂e^(4*0)+0=1⇒с₁+c₂=1

4c₂e^(4*0)+1=3⇒c₂=2/4=0.5

зная c₂, найдем с₁=1-c₂=1-0.5=0.5

Значит, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет Y=0.5+0.5e^(4х)+х