Question

Длина диагонали равнобедренной трапеции равна 5, а ее площадь 12. Найдите высоту трапеции

Answer 1

 Сделаем рисунок трапеции, обозначим ее АВСD.
Проведем в ней  диагонали.
 Из вершины С проведем прямую СК, параллельную диагонали ВD. 
Продолжим АD вправо до пересечения с СК. 
Как нередко в задачах встречается, в данном решении больше  рассуждений, чем вычислений. 
Так как диагонали равнобедренной трапеции равны, мы получили  равнобедренный треугольник АСК.  
АК=АD+ВС, т.к. ВD и СК равны и параллельны, и => ВСКD -  параллелограмм. 
 Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму  оснований. 
 S(ABCD)=CH*(AD+BC):2  
S(АСD)= СН*(АD+DК):2  
DК=ВС, => S(ABCD)=S∆(АСD) 
Мы доказали, что площадь треугольника АСК равна площади  трапеции ABCD.   Опустим из С на АК высоту СН.  
СН разделила треугольник АСК на два равных прямоугольных.  
Площадь каждого из них равна половине площади трапеции и  равна
S ⊿CHK=12:2=6 
Из Н на СК проведём высоту НМ треугольника НСК. 
НМ найдем из площади ⊿НСК 
 S ⊿HCK=HM*CK:2 
HM=2S:CK HM=12:5=2,4 
Высоту трапеции мы можем найти из ⊿СНМ, а для этого надо знать длину СМ.   Применим свойство высоты прямоугольного треугольника 
 – высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины  прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками,  на которые делится гипотенуза этой высотой  
НМ²=СМ*МК 
Пусть СМ=х, тогда МК=5-х 
2,4²=СМ*(5-х)² 
Отсюда получим квдратное уравнение х²-5х+5,76=0 
Решив уравнение, найдем два корня - 1,8 и 3,2.  
Длина высоты СН зависит от полусуммы оснований, следовательно, от их длины.   Оба корня подходят.  
Чтобы найти СН можно применить теорему Пифагора или свойство  катета прямоугольного треугольника   
– катет прямоугольного  треугольника есть среднее  пропорциональное между гипотенузой  и отрезком гипотенузы,  заключенным между катетом и высотой 
Вариант 1) 
СМ=1,8,  и тогда высота СН =√СМ*СК=√(1,8*5)=√9=3 
вариант 2) 
СМ=3,2,  и тогда  СН=√(3,2*5) =√16=4