Question

sqrt(2 - sqrt(x + 2)) = x

Answer 1

Ответ:

$x=\frac{-1+\sqrt{5} }{2}$

Пошаговое объяснение:

Разложим

$\sqrt{2-\sqrt{x+2} } =x\\x\geq 0\\2-\sqrt{x+2} =x^2\\\sqrt{x+2} =2-x^2\\x+2=4-4x^2+x^4\\x^4-4x^2-x+2=0\\x^2(x^2-4)-(x-2)\\x^2(x+2)(x-2)-(x-2)=0\\(x-2)(x^2(x+2)-1)=0\\(x-2)(x^3+2x^2-1)=0\\(x-2)((x^3+x^2)+x^2-1)=0\\(x-2)(x^2(x+1)+(x+1)(x-1))=0\\(x-2)(x+1)(x^2+x-1)=0$

Произведение равно нулю когда один из множителей равен 0:

$x-2=0\\x=2\\Proverka\\\sqrt{2-\sqrt{2+2} } =2\\0\neq 2$

Корень 2 посторонний

$x+1=0\\x=-1\\Proverka\\x\geq 0\\x\neq -1$

Корень -1 посторонний

$x^2+x-1=0\\D=5\\x_1=\frac{-1+\sqrt{5} }{2} \\x_2=\frac{-1-\sqrt{5} }{2}\\Proverka\\x\geq 0\\ x_1=\frac{-1+\sqrt{5} }{2} \geq 0\\x_2=\frac{-1-\sqrt{5} }{2}\leq 0\\x=x_1\\x\neq x_2$

Корень $\frac{-1+\sqrt{5} }{2}$ подходит

Остальные посторонние