Question

решите систему уравнений

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}x^2+xy+y^2=1\\x^2-xy^2+y^4=1\end{array}\right;$

$x^2+xy+y^2=x^2-xy^2+y^4\\xy+y^2=-xy^2+y^4\\y^4-y^2-xy^2-xy=0\\y^2(y^2-1)-xy(y+1)=0\\y^2(y-1)(y+1)-xy(y+1)=0\\(y+1)(y^2(y-1)-xy)=0\\y(y+1)(y^2-y-x)=0$

Тогда либо $y=0$, либо $y=-1$, либо $x=y^2-y$.

В первых двух случаях очевидно, что:

$y=0\Rightarrow\;\left[\begin{array}{c}x=1\\x=-1\end{array}\right;$

$y=-1\;\Rightarrow\;\left[\begin{array}{c}x=0\\x=1\end{array}\right;$

В последнем случае при $x=y^2-y$ получим:

$(y^2-y)^2+(y^2-y)y+y^2=1\\y^4-y^3+y^2-1=0\\y^3(y-1)+(y-1)(y+1)=0\\(y-1)(y^3+y+1)=0$

Отсюда либо $y=1$ (тогда $x=0$), либо $y^3+y+1=0$.

Последнее уравнение имеет один корень и решается по формуле Кардано.

$y^3+y+1=0\\y=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{93}}{18}}+\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{93}}{18}}\approx-0.682$

Осталось посчитать $x$:

$x=\sqrt[3]{\dfrac{29}{54}-\dfrac{\sqrt{93}}{18}}-\dfrac{2}{3}+\sqrt[3]{\dfrac{29}{54}+\dfrac{\sqrt{93}}{18}}-\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{93}}{18}}-\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{93}}{18}}\approx1.148$

Теперь осталось аккуратно записать ответ:

$(1;\;0),\;(-1;\;0),\;(1;\;-1),\;(0;\;-1),\;(0;\;1),\;\left(\approx1.148;\;\approx-0.682\right)$

Система уравнений решена!