Question

50
3 и 4
_._._._._._._._._._​

Answer 1

Ответ:

3) $\boxed{S_{\phi} = \dfrac{5}{6}}$ квадратных единиц

4) $\boxed{S_{\phi} = \dfrac{28}{3}}$ квадратных единиц

Объяснение:

3)

По условию фигура ограничена линиями:

$y = x^{2}$

$y = 0$

$y = -x + 2$

Линии ограничивают область (закрашенную желтым цветом и которую можно назвать ABC).

Прямые  $y = 0$ и $y = -x +2$ имеют пересечения в точке C(2;0).

0 = -x + 2 ⇒ x = 2; y(-2) = 0

Прямые  $y = 0$ и $y = x^{2}$ имеют пересечения в точке A(0;0).

Прямые  $y = -x + 2$ и $y = x^{2}$ имеют пересечения в точке B(0;0).

$-x + 2 = x^{2}$

$x^{2} + x - 2 = 0$

$D = 1 - 4 \cdot 1\cdot (-2) =1 + 8 = 9 = 3^{2}$

$x_{1} = \dfrac{-1 + 3}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

$x_{2} = \dfrac{-1 -3}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2$

Однако так как нас согласно расположению графиков относительно друг друг друга, то нас интересует $x_{1} = 1$, то есть точка B(1;1).

Проведем прямую x = 1. Таким образом она разбила желтую часть на две фигуры. Где площадь криволинейно трапеции ABD с пределами интегрирования от 0 до 1 можно найти с помощью определенного интеграла, а оставшуюся площадь, как площадь треугольника BDC. То есть площадь фигуры имеет вид: $S_{\phi} = \displaystyle \int\limits^1_0 {x^{2} } \, dx + S_{BDC}$.

а) $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^{2} } \, dx = \dfrac{x^{3}}{3} \bigg | _0^1 = \dfrac{1}{3}(1^{3} - 0^{3}) = \dfrac{1}{3}$ квадратных единиц.

б) $S_{BDC}$

Так как отрезок BD треугольника ΔBDC лежит на прямой x = 1, то треугольник ΔBCD - прямоугольный с катетами BD и DC.

Зная координаты точек B(1;1),D(1;0),C(2;0) найдем длинны отрезков BD и DC. $BD = \sqrt{(x_{D} - x_{B})^{2} + (y_{D} - y_{B})^{2}} = \sqrt{(1 - 1)^{2} + (0 - 1)^{2}} = \sqrt{0^{2} + (-1)^{2}} = 1$.

$DC = \sqrt{(x_{C} - x_{D})^{2} + (y_{C} - y_{D})^{2}} = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (0 - 0)^{2}} = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = 1$.

По формуле площади прямоугольного треугольника (ΔBDC) :

$S_{BDC} = 0,5 \cdot BD \cdot CD = 0,5 \cdot 1 \cdot 1 = 0,5$ квадратных единиц.

в) Площадь фигуры: $S_{\phi} = \displaystyle \int\limits^1_0 {x^{2} } \, dx + S_{BDC} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2 + 3}{6} = \dfrac{5}{6}$ квадратных единиц.

4)

По условию фигура ограничена линиями:

$y = 2\sqrt{x}$

$y = 0$

$x = 1$

$x = 4$

Пределы интегрирования:

$a = 1$

$b = 4$

Найдем площадь криволинейной трапеции по определению:

$S_{\phi} = \displaystyle \int\limits^4_1 {2\sqrt{x} - 0 } \, dx = \displaystyle 2 \int\limits^4_1 {\sqrt{x} } \, dx = \dfrac{4x\sqrt{x} }{3} \bigg | _4^1 = \dfrac{4}{3} (4\sqrt{4} - 1\sqrt{1)} = \dfrac{4}{3}(4 \cdot 2 - 1 \cdot 1)=$

$= \dfrac{4}{3}(8 - 1) = \dfrac{4}{3} \cdot 7 = \dfrac{28}{3}$ квадратных единиц.