Question

При каком значении z векторы a{1;-4;0}, b{-1;0;-1} и c{3;z;0} компланарны?

Answer 1

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно $0$.

$(a,b,c) = (a,[b,c]) = \left(\begin{array}{c}1\\-4\\0\end{array}\right)\cdot \left(\left(\begin{array}{c}-1\\0\\-1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\z\\0\end{array}\right)\right) = \left(\begin{array}{c}1\\-4\\0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}z\\-3\\-z\end{array}\right) = z+12 = 0 \Leftrightarrow z=-12$

Есть и другой способ. Как видно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, а потому вектор $\vec{c}$ можно представить в виде линейной комбинации этих векторов тогда и только тогда, когда $\vec{c}$ лежит в одной плоскости с данными векторами. Иными словами: $\lambda\vec{a} + \mu\vec{b} = \vec{c} \Leftrightarrow \begin{cases}\lambda-\mu=3\\ -4\lambda=z\\-\mu = 0\end{cases} \Rightarrow \mu=0,\;\lambda = 3,\; z=-4\cdot 3 = -12$