Question

В параллелограмме ABCD из вершины острого угла А опущены высоты АН и АК на прямые, содержащие стороны BC и CD соответственно. Найдите НК, если AB = 5, AC = 15, AH = 3​

Answer 1

Ответ:

$\boxed{HK \approx 8,9}$

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, ∠BAD < 90°, AH ⊥ BC, AK ⊥ CD, AB = 5,

AC = 15, AH = 3​

Найти: HK - ?

Решение: Так как по условию AH ⊥ BC, то угол ∠AHC = 90°, тогда для прямоугольного треугольника ΔAHB по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{AB^{2} - AH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$. Также так как  угол ∠AHC = 90°, то треугольник ΔAHC - прямоугольный. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAHC. По теореме Пифагора: $HC = \sqrt{AC^{2} - AH^{2}} = \sqrt{15^{2} - 3^{2}} = \sqrt{225 - 9} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$.

По основному свойству отрезка: $HB + BC = HC \Longrightarrow BC = HC - HB = \sqrt{216} - 4$

По свойствам параллелограмма (ABCD) его противоположные стороны равны, тогда AB = CD = 5, $AD = BC = (\sqrt{216} - 4 )$.

По формуле площади параллелограмма:

$\displaystyle \left \{ {{S_{ABCD} = AK \cdot CD} \atop {S_{ABCD} = AH \cdot BC}} \right \Longrightarrow AK \cdot CD = AH \cdot BC \Longrightarrow AK = \dfrac{AH \cdot BC}{CD} =$

$= \dfrac{3 \cdot (\sqrt{216} - 4)}{5} = \dfrac{3\sqrt{216} - 12}{5}$. Рассмотрим треугольник прямоугольный (так как по условию  AK ⊥ CD, то угол ∠AKC = 90°) треугольник ΔAKC. По теореме Пифагора: $CK = \sqrt{AC^{2} - AK^{2}} = \sqrt{15^{2} - \left (\dfrac{3\sqrt{216} - 12}{5} \right)^{2}}= \sqrt{225 - \dfrac{1944 - 432\sqrt{6} +144}{25} }=$$= \sqrt{\dfrac{5625}{25} - \dfrac{1944 - 432\sqrt{6} +144}{25} }= \sqrt{ \dfrac{5625-1944 - 432\sqrt{6} +144}{25} } =$

$=\sqrt{ \dfrac{3825 - 432\sqrt{6} }{25} }$. По формуле площади параллелограмма:

$\displaystyle \left \{ {{S_{ABCD} = BC \cdot CD \cdot \sin \angle HCK} \atop {S_{ABCD} = AH \cdot BC}} \right \Longrightarrow BC \cdot CD \cdot \sin \angle HCK = AH \cdot BC \Longrightarrow$

$\sin \angle HCK = \dfrac{AH \cdot BC}{BC \cdot CD} = \dfrac{AH}{CD} = \dfrac{3}{5} = 0,6$. По свойствам параллелограмма его противоположные углы равны, тогда ∠BAD = ∠BCD, так как по условию ∠BAD < 90°, то и угол ∠BCD < 90°, следовательно

cos ∠BCD > 0. По основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^{2} \angle HCK + \cos^{2} \angle HCK = 1 \Longrightarrow \cos \angle HCK = \sqrt{1 - \sin^{2} \angle HCK} =$

$= \sqrt{1 - (0,6)^{2}} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$. По теореме косинусов для треугольника ΔHCK: $HK = \sqrt{HC^{2} + CK^{2} - 2 \cdot HC \cdot CK \cdot \cos \angle HCK} =$

$= \sqrt{(\sqrt{216} )^{2} + \left (\sqrt{ \dfrac{3825 - 432\sqrt{6} }{25} } \right )^{2} - 2 \cdot \sqrt{216} \cdot \sqrt{ \dfrac{3825 - 432\sqrt{6} }{25} }\cdot 0,8 } =$

$= \sqrt{216 + \dfrac{3825 - 432\sqrt{6} }{25} - 1,6 \cdot \sqrt{216} \cdot\dfrac{3\sqrt{425 - 48\sqrt{6} } }{5} } =$

$= \sqrt{ \dfrac{5400 + 3825 - 432\sqrt{6} }{25} - \dfrac{28,8\sqrt{6} \sqrt{425 - 48\sqrt{6} } }{5} } =$

$= \sqrt{ \dfrac{9225 - 432\sqrt{6} }{25} - \dfrac{28,8\sqrt{2550 - 288\sqrt{6} } }{5} } =$

$= \sqrt{ \dfrac{9225 - 432\sqrt{6} - 144\sqrt{2550 - 288\sqrt{6} }}{25} } = \dfrac{\sqrt{ 9225 - 432\sqrt{6} - 144\sqrt{2550 - 288\sqrt{6} } } }{5}$$\approx 8,9$.