Question

Пределы,помогите решить пожалуйста

Answer 1

$\lim_{x \to 0}(\frac{x-5}{2x-5})^{\frac{1}{x} }= \lim_{x \to 0}e^{ln(\frac{x-5}{2x-5})^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x} \cdot ln (\frac{x-5}{2x-5})}}=\\\\=e^{\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \cdot ln (\frac{x-5}{2x-5})}}=e^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{e}$

Так как

$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \cdot ln (\frac{x-5}{2x-5})=\lim_{x \to 0}\frac{ ln (\frac{x-5}{2x-5})}{x}=\frac{0}{0}$  -  неопределенность

Применяем правило Лопиталя:

$=\lim_{x \to 0}\frac{ (ln (\frac{x-5}{2x-5}))`}{(x)`}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\frac{x-5}{2x-5}}\cdot (\frac{x-5}{2x-5})`}{1}=\lim_{x \to 0}\frac{(2x-5)}{x-5}\cdot \frac{(2x-5)-2(x-5)}{(2x-5)^2}=\\\\=\lim_{x \to 0}\frac{5}{(x-5)(2x-5)}=\frac{1}{5}$