Question

помогите пожалуйста 9 КЛАСС​

Answer 1

Ответ:

3.4 $\boxed{a \in (-\infty;0) \cup \bigg \{\sqrt{\dfrac{2}{3}} \bigg \}}$

3.5 $\boxed{\dfrac{\sin \alpha + \sin \left ( \dfrac{\alpha }{2} \right)}{1 + \cos \alpha + \cos \left ( \dfrac{\alpha }{2} \right)} =tg \left ( \dfrac{\alpha }{2} \right)}$

Объяснение:

3.4

$(\sqrt{x} - a)(3x^{2} + x - 2) = 0$

ОДЗ: $x \geq 0$

$3x^{2} + x - 2= 0$

$D = 1 - 4 \cdot 3 \cdot(-2) = 1 + 24 = 25 = 5^{2}$

$x_{1} = \dfrac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \dfrac{4}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \dfrac{2}{3}$

$x_{2} = \dfrac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \dfrac{-6}{6} = -1$ - не подходит по ОДЗ

$(\sqrt{x} - a)(3x^{2} + x - 2) = 0 \Longleftrightarrow (\sqrt{x} - a) \left ( x - \dfrac{2}{3} \right) = 0$

1) случай

Рассмотрим уравнение:  $\sqrt{x} - a \neq 0$

$\sqrt{x} = a$ не имеет решений при $a < 0$, то есть $x \in \varnothing$

Тогда $x - \dfrac{2}{3} = 0$, то есть $x = \dfrac{2}{3}$ - единственный корень

2) случай

При $a \geq 0$ всегда будет существовать два корня, кроме случая

$x = \dfrac{2}{3}$, тогда: $\sqrt{\dfrac{2}{3} } = a$ . Тогда будут существовать два корня, однако они будут совпадать, тогда уравнение тоже имеет один корень при $a = \sqrt{\dfrac{2}{3} }$.

То есть если объединить случай 1) и 2), то уравнение будет иметь 1 корень при $a \in (-\infty;0) \cup \bigg \{\sqrt{\dfrac{2}{3}} \bigg \}$

3.5

$\dfrac{\sin \alpha + \sin \left ( \dfrac{\alpha }{2} \right)}{1 + \cos \alpha + \cos \left ( \dfrac{\alpha }{2} \right)} = tg \left ( \dfrac{\alpha }{2} \right)$

Пусть $\dfrac{\alpha }{2} = \beta \bigg | \cdot 2$

$\alpha = 2\beta$

$\dfrac{\sin \alpha + \sin \left ( \dfrac{\alpha }{2} \right)}{1 + \cos \alpha + \cos \left ( \dfrac{\alpha }{2} \right)} = \dfrac{\sin 2\beta + \sin \beta}{1 + \cos 2\beta + \cos \beta} = \dfrac{2 \sin \beta \cos \beta + \sin \beta }{1 + 2 \cos^{2} \beta - 1 + \cos \beta} =$

$= \dfrac{\sin \beta (2 \cos \beta + 1)}{\cos \beta (2 \cos \beta + 1)} = tg \ \beta =tg \left ( \dfrac{\alpha }{2} \right)$